Ny mira ny fiaramanidina: Ahoana no hanaovana? Types fiaramanidina equations

Ny toerana fiaramanidina dia azo faritana amin'ny endrika samihafa (teboka iray sy ny Vector, ny Vector sy ny hevitra roa, teboka telo, sns). Izany dia miaraka amin'izany ao an-tsaina, ny fiaramanidina mira afaka karazana. Koa eo ambanin'ny toe-javatra sasany dia mety ho mitovy fiaramanidina, perpendicular, intersecting, sns Izao ka hiresaka ato amin'ity lahatsoratra ity. Isika dia hianatra hanao ny ankapobeny mira ny fiaramanidina, ary tsy izany ihany.

Ny ara-dalàna amin'ny teny ny mira

Aoka hatao R no toerana _3, izay manana rafitra mandrindra Mahitsizoro XYZ. Tsy atao hoe vectorielle α, izay dia hovahana avy ao amin'ny fiaingana O. alalan'ny faran'ny vectorielle α hantsaka fiaramanidina P izay perpendicular izany.

Dia maneho P Tamin'ny taona jadona teboka Q = (x, y, z). Ny nipoaka Vector ny hevitra Q taratasy famantarana p. Ny halavan'ny mitovy ny Vector α t = IαI sy Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).

Ity tarika Vector, izay eo amin'ny lalana mivantana toy ny Vector α. α, β sy ny γ - dia lafiny izay niforona teo anelanelan'ny vectorielle sy ny toro-lalana tsara toerana Ʋ famaky X, Y, Z tsirairay avy. Ny fanitarana ny teboka iray eo amin'ny vectorielle QεP Ʋ dia foana izay mitovy ny t (p, Ʋ) = t (r≥0).

Ny ambony dia manan-danja rehefa mira, p = 0. Ny hany N fiaramanidina amin'ity tranga ity, dia hita teboka O (α = 0), izay no niandohan'ny, sy ny tarika vectorielle Ʋ, afaka amin'ny hevitra O dia ho perpendicular ny P, na dia ny tari-dalana, izay midika fa ny Vector Ʋ tapa-kevitra niakatra ho any amin'ny famantarana. Previous mira no fiaramanidina P, miseho amin'ny endrika vectorielle. Rehefa heverina anefa ny Hanketo dia:

P dia lehibe noho na mitovy 0. Efa hitanay ny fiaramanidina mira amin'ny endrika ara-dalàna.

The ankapobeny mira

Raha ny mira ao amin'ny Flag hihamaro misy maro izay tsy mitovy ny aotra, dia hahazo ny mira mitovy izany izay mamaritra ny tena fiaramanidina. Izany dia hanana ny teny manaraka:

Eto, A, B, C - dia ny isan'ny niara-mitovy amin'ny aotra. Izany no antsoina hoe ny mira mira ny ankapobeny endriky ny fiaramanidina.

Ny equations ny fiaramanidina. Special tranga

Ny mira ankapobeny dia afaka ho farany amin'ny fepetra fanampiny. Diniho ny sasany amin'izy ireo.

Mihevitra fa ny coefficient A dia 0. Midika izany fa mitovy ny fiaramanidina ho any amin'ny mpiray efa voafaritra mialoha omby izy. Amin'ity tranga ity, ny endriky ny manova ny mira: Wu + CZ + D = 0.

Toy izany koa, ny endriky ny mira, ary dia miovaova arakaraky ny fepetra manaraka ireto:

• Voalohany indrindra, raha B = 0, ny mira miova ho Ax + CZ + D = 0, izay mety maneho ny fitoviana ho an'ny mpiray Oy.
• Faharoa, raha C = 0, ny mira mampiova ny endriny ho Ax + By + D = 0, izany hoe momba mitovy amin'ny efa voafaritra mialoha mpiray Oz.
• Fahatelo, raha D = 0, ny mira dia hiseho toy ny Ax + By + CZ = 0, izay dia midika fa ny fiaramanidina intersects O (ny niaviany).
• Fahefatra, raha A = B = 0, ny mira miova ho CZ + D = 0, izay hanaporofo ny fitoviana Oxy.
• Fahadimy, raha B = C = 0, ny mira lasa Ax + D = 0, izay midika fa ny fiaramanidina dia ampitahaina Oyz.
• Sixthly, raha A = C = 0, ny mira mandray ny endrika Wu + D = 0, i.e., dia tatitra amin'ny fitoviana Oxz.

Endriky ny ny mira amin'ny fizarana

Amin'ny tranga izay isa A, B, C, D tsy mitovy amin'ny aotra, ny endriky ny mira (0) Mety ho toy izao manaraka izao:

X / a + Y / b + Z / c = 1,

izay iray = -D / A, amin '= -D / B, c = -D / C.

Isika mandray vokatry mira ny fiaramanidina manorotoro. Tsara homarihina fa izany ny fiaramanidina dia intersect X-mpiray amin'ny fotoana miaraka amin'ny Flag (a, 0,0), Oy - (0, amin ', 0), ary Oz - (0,0, s).

Noho ny mira X / a + Y / b + Z / c = 1, dia tsy sarotra ny sary an-tsaina ny fametrahana fiaramanidina mikasika ny rafitra mandrindra efa voafaritra mialoha.

Ny Flag ny ara-dalàna vectorielle

Ny ara-dalàna N Vector ny fiaramanidina dia manana Flag P izay ny coefficients 'ny ankapobeny mira ny fiaramanidina, i.e. N (A, B, C).

Mba hamaritana ny Flag ny ara-dalàna N, dia ampy ny mahafantatra ny ankapobeny mira nomena fiaramanidina.

Rehefa mampiasa ny mira amin'ny fizarana, izay manana ny endrika X / a + Y / b + Z / c = 1, toy ny rehefa mampiasa ny ankapobeny mira azo soratana Flag misy ara-dalàna Vector iray nomena fiaramanidina: (1 / a + 1 / b + 1 / c).

Tsara homarihina fa ny ara-dalàna Vector ny manampy hamahana olana isan-karazany. Ny tena mahazatra ahitana olana ireo amin'ny porofo perpendicular na mitovy fiaramanidina, ny asa ny fitadiavana ny lafiny eo amin'ny fiaramanidina na ny lafiny eo amin'ny fiaramanidina sy ny tsipika mahitsy.

Manoratra araka ny fiaramanidina mira ary mandrindra ny hevitra ara-dalàna vectorielle

A nonzero Vector N, perpendicular ny nomena fiaramanidina, atao hoe ara-dalàna (ara-dalàna) ny efa voafaritra mialoha fiaramanidina.

Aoka hatao hoe ao amin'ny toerana handrindra (a Mahitsizoro rafitra mandrindra) Oxyz hametraka:

• Mₒ hevitra amin'ny Flag (hₒ, uₒ, zₒ);
• aotra Vector N = A * aho, * + J + B C * l.

Mila manao mira ny fiaramanidina izay mandalo Mₒ hevitra perpendicular ny ara-dalàna n.

Ao amin'ny toerana misy jadona no mifidy sy maneho hevitra M (x, y, z). Aoka ny nipoaka vectorielle tsirairay hevitra M (x, y, z) dia ho R = X * aho, + Y * J + Z * K, sy ny nipoaka Vector ny hevitra Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * aho, + uₒ * J + zₒ * l. Ny teboka M dia kay no nomena fiaramanidina, raha ny Vector MₒM ho perpendicular ny Vector n. Manoratra ny toe-orthogonality mampiasa ny scalar vokatra:

[MₒM, N] = 0.

Koa satria MₒM = R-rₒ, ny Vector mira ny fiaramanidina dia hijery toy izao:

[R - rₒ, N] = 0.

Zavatra tsy mira koa dia afaka manana endrika hafa. Izany no tanjona, ny fananan 'ny scalar vokatra, ary niova fo hatramin'ny lafiny ankavia ny mira. [R - rₒ, n] = [R, n] - [rₒ, n]. Raha [rₒ, n] ilazana toy ny s, dia mahazo ny manaraka mira: [R, n] - ny = 0 na [R, n] = s, izay maneho ny tsy tapaka ny vinavina momba ny ara-dalàna Vector ny nipoaka-vectors ny nanome hevitra an'i fiaramanidina.

Ankehitriny ianao dia afaka mahazo ny handrindra karazana fandraisam-peo fiaramanidina ny Vector mira [R - rₒ, n] = 0. satria R-rₒ = (x-hₒ) * aho, + (Y-uₒ) * J + (Z-zₒ) * K, ary N = A * aho, * + B + C * J K, dia manana:

Raha ny fandehany fa manana ny mira fiaramanidina dia namorona ny hevitra mandalo perpendicular ny ara-dalàna n:

A * (x hₒ) + B * (y uₒ) S * (Z-zₒ) = 0.

Manoratra araka ny fiaramanidina mira ary mandrindra ny teboka roa ny Vector fiaramanidina collinear

Isika roa jadona mamaritra hevitra M '(x', y ', Z') sy M "(x", y ", Z"), ary koa ny Vector (a ', ny ", ny ‴).

Ankehitriny isika dia afaka manoratra mira fiaramanidina efa voafaritra mialoha, izay mandeha amin'ny efa misy hevitra M 'sy M ", ary isaky ny teboka amin'ny Flag M (x, y, z) mifanitsy amin'ny nomena vectorielle.

Izao no M'M vectors X = {x ', Y-Y', zz '} sy M "M = {X" -x', y 'Y', Z "-z '} tokony ho coplanar amin'ny vectorielle ny = (a ', ny ", ny ‴), izay midika fa (M'M M" M, a) = 0.

Noho izany ny mira ny fiaramanidina eny amin'ny habakabaka dia hijery toy izao:

Karazana fiaramanidina mira, niampita teboka telo

Aoka ny hoe manana teboka telo: (x ', y', Z '), (x', y ', Z'), (x ‴ Manana ‴, Z ‴), izay tsy isan 'ny tsipika iray ihany. Ilaina ny manoratra mira ny fiaramanidina mandalo amin'ny teboka telo voalaza. rafitsary teorian'ny nandresy lahatra fa ity karazana fiaramanidina tsy misy, fa ny iray fotsiny ihany. Koa satria fiaramanidina ity intersects ny hevitra (x ', y', Z '), ny mira endrika ho:

Eto, A, B, sy C dia tsy mitovy amin'ny aotra tamin'izany andro izany. Koa nanome fiaramanidina intersects hevitra roa (x ", y", Z ") ary (x ‴, y ‴, Z ‴). Ao amin'io fifandraisana tokony nanatanteraka io karazana toe-javatra:

Ankehitriny dia afaka mamorona ny fanamiana rafitra ny equations (Linear) miaraka amin'ny tsy fantatra U, v, w:

Amin'izao Raha X, Y na Z mijoro jadona hevitra izay manefa mira (1). Raha raisina mira (1) ary ny tontolo equations (2) ary (3) ny fandehan-equations voalaza ao amin'ny sary etsy ambony, ny Vector no mifanaraka tsara N (A, B, C) izay nontrivial. Satria ny determinant ny rafitr'ity tontolo ity dia aotra.

Mira (1) fa efa nahazo, izany no mira ny fiaramanidina. 3 teboka tena izy mandeha, ary mora hijery. Mba hanaovana izany, dia hanitatra ny determinant ny singa ao amin'ny laharana voalohany. Ao amin 'ny fananana efa misy determinant fa ny fiaramanidina manaraka miaraka intersects efa voafaritra mialoha ny telo tany am-boalohany hevitra (x', y ', Z'), (x ", y", Z "), (x ‴, y ‴, Z ‴). Noho izany dia nanapa-kevitra ny asa eo anoloan'ny amintsika.

Dihedral zoro eo amin'ny fiaramanidina

Dihedral zoro dia maka sary voafaritra endrika roa niforona antsasaky ny fiaramanidina izay emanate avy amin'ny tsipika mahitsy. Amin'ny teny hafa, tafiditra ao anatin'ny toerana izay voafetra ho ny antsasaky ny fiaramanidina.

Aoka hatao hoe manana fiaramanidina roa amin'ny equations manaraka ireto:

Fantatsika fa ny Vector N = (A, B, C) ary N¹ = (A¹, H¹, S¹) araka ny efa voafaritra mialoha fiaramanidina dia perpendicular. Momba izany, ny zoro φ eo vectors N sy N¹ mitovy zoro (dihedral), izay hita eo amin'ireo fiaramanidina. Ny vokatra scalar omena by:

NN¹ = | N || N¹ | Kosy φ,

indrindra noho ny

cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (A² + s² + V²)) * (√ (A¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).

Aoka izay ny mandinika izany 0≤φ≤π.

Raha ny marina fiaramanidina roa izay intersect, endrika roa zoro (dihedral): φ ₁ sy φ _2. Ny vola dia mitovy ny π (φ ₁ + φ ₂ = π). Ny amin'ny cosines, ny soatoavina dia mitovy tanteraka, saingy samy hafa izy ireo famantarana, izany hoe, Kosy φ ₁ = -cos φ _2. Raha tao an-mira (0) dia nosoloina A, B sy C ny FITEHIRIZAM-BOKIN'NY Vavolombelon'i, -B sy -c tsirairay avy, ny mira, dia mahazo, no hamaritra ny fiaramanidina ihany, ilay hany zoro φ amin'ny mira Kosy φ = NN ¹ / | N || N ¹ | Ho nosoloana π-φ.

Ny mira ny perpendicular fiaramanidina

Antsoina hoe perpendicular fiaramanidina, eo izay ny fiolahana dia 90 degre. Amin'ny alalan'ny fampiasana ny zavatra aseho etsy ambony, dia afaka mahita ny mira ny fiaramanidina perpendicular ny hafa. Aoka hatao hoe manana fiaramanidina roa: Ax + By + CZ + D = 0, ary A¹h V¹u + + + S¹z D = 0. Azontsika atao ny milaza fa raha toa izy ireo orthogonal Kosy = 0. Midika izany fa NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0.

Ny mira ny mirazotra fiaramanidina

Tsy niresaka momba ny fiaramanidina roa mirazotra, izay tsy ahitana hevitra iombonana.

Ny toe-javatra ny mirazotra fiaramanidina (ny equations dia mitovy tahaka ny ao amin'ny fehintsoratra teo aloha) dia ny vectors N sy N¹, izay perpendicular taminy hoe: collinear. Midika izany fa ny fepetra manaraka ireto dia nihaona proportionality:

A / A¹ = B / C = H¹ / S¹.

Raha ny teny mitanila-manaontsika - A / A¹ = B / C = H¹ / S¹ = DD¹,

Midika izany fa ny fanazavana ny fiaramanidina ihany. Midika izany fa mira Ax + By + CZ + D = 0 sy + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 milaza fiaramanidina iray.

Ny elanelana avy amin'ny teboka ny fiaramanidina

Aoka hatao hoe manana fiaramanidina P, izay nomen '(0). Dia ilaina ny mahita ny lavitra avy amin'ny hevitra amin'ny Flag (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ. , Tokony hitondra ny mira ao amin'ny fiaramanidina II ara-dalàna tarehy mba hanaovanao azy;

(Ρ, v) = t (r≥0).

Amin'ity tranga ity, ρ (x, y, z) no nipoaka Vector ny hevitra Q, hita ao amin'ny n P - n ny lavan'ny perpendicular, izay nafahana avy amin'ny aotra fotoana, v - dia ny tarika Vector, izay nanao fandaharana ao amin'ny tari-dalana a.

Ny fahasamihafana ρ-ρº nipoaka Vector ny hevitra Q = (x, y, z), an'ny n sy ny nipoaka Vector ny nanome hevitra Q ₀ = (hₒ, uₒ, zₒ) dia toy izany Vector, ny tanteraka lanjan'ny ny fanitarana ny izay eo V mitovy ny lavitra e, izay ilaina mba hahita avy Q = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) ho P:

D = | (ρ-ρ ^0, v) |, fa

(Ρ-ρ ^0, v) = (ρ, v ) - (ρ ^0, v) = t (ρ ^0, v).

Koa raha ny fandehany,

e = | (ρ ^0, v), p |.

Ankehitriny dia mazava fa ny kajy ny lavitra D avy ₀ ny Q fiaramanidina P, dia ilaina ny mampiasa ara-dalàna fijery fiaramanidina mira, ny fiovana ho amin'ny ankavia ny, p, sy amin'ny fitoerana aoriana ny X, Y, Z mpisolo toerana (hₒ, uₒ, zₒ).

Noho izany, dia mahita ny tena zava-dehibe ny vokatry ny maneho hevitra izay ilaina e.

Mampiasa ny masontsivana ny teny, dia mahazo ny mazava;

D = | Ahₒ Vuₒ + + Czₒ | / √ (A² + V² + s²).

Raha ny voatondro hevitra Q ₀ eo amin'ny lafiny iray koa amin'ny fiaramanidina P toy ny niaviany, avy eo anelanelan'ny vectorielle ρ-ρ ⁰ sy V dia ny obtuse fiolahana toy izao:

D = - (ρ-ρ ^0, v) = (ρ ^0, v) -p> 0.

Ao amin'ny tranga, rehefa ny hevitra Q ₀ miaraka amin'ny niaviany ihany miorina eo amin'ny lafiny iray koa amin'ny U, ny Matsilo fiolahana noforonina, izany hoe:

D = (ρ-ρ ^0, v) = P - (ρ ^0, v)> 0.

Ny vokany dia any amin'ny raharaha teo aloha (ρ ^0, v)> t, ao amin'ny faharoa (ρ ^0, v)

Ary ny tangent fiaramanidina mira

Momba ny fiaramanidina ho any ambonin'ny tany amin'ny fotoana ny tangency Mº - fiaramanidina tangent misy azo atao koa ny curve voatsoaka tamin'ny alalan'ny fotoana izay etỳ ambonin'ny.

Miaraka amin'ny teny ambony io ny mira F (x, y, z) = 0 tao an-mira ny tangent fiaramanidina tangent teboka Mº (hº, uº, zº) ho:

F _X (hº, uº, zº) (hº x) + F _X (hº, uº, zº) (uº y) + F _X (hº, uº, zº) (Z-zº) = 0.

Raha ambonin'ny dia nametraka mazava Z = F (x, y), dia ny tangent fiaramanidina dia voafaritra araka ny mira:

Z-zº = ampy (hº, uº) (hº x) + ampy (hº, uº) (y uº).

Ny fihaonan-dalana ny fiaramanidina roa

Tamin'ny telo-toerana amin'ny lafiny dia rafitra mandrindra (mahitsizoro) Oxyz, nomena ny fiaramanidina roa P 'sy P' izay hifanindry ka tsy hifanitsy. Koa satria misy fiaramanidina, izay ao amin'ny mahitsizoro rafitra mandrindra voafaritry ny ankapobeny mira, isika dia mihevitra fa ny n ', ary n "voafaritra amin'ny alalan'ny ny equations A'x + + + V'u S'z D' = 0 sy A" + B x '+ Y miaraka amin'ny "z + D" = 0. Amin'ity tranga ity isika no ara-dalàna n '(A', B ', C') ny fiaramanidina P ', ary ny ara-dalàna n "(A", B ", C") ny fiaramanidina P'. Rehefa ny fiaramanidina dia tsy mifanindran-dàlana sy tsy hifanitsy, dia ireo tsy vectors collinear. Ny fampiasana ny teny ny matematika, dia manana izany toe-javatra azo soratana toy ny: n '≠ n "↔ (A', B ', C') ≠ (λ * Ary", λ * In ", λ * C"), λεR. Aoka ny tsipika mahitsy izay mandry amin'ny fihaonan-dalana P 'sy P ", dia ilazana ny taratasy a, amin'ity tranga ity dia = P' ∩ P".

ary - ny tsipika ahitana ny plurality ny teboka (iombonana) fiaramanidina P 'sy P ". Midika izany fa ny Flag ny hevitra rehetra ao anatin 'ny andalana a, dia tsy maintsy niara-fahafaham-po ny mira A'x + + + V'u S'z D' = 0 sy A "X + B '+ C Y" Z + D "= 0. Midika izany fa ny Flag ny hevitra ho vahaolana manokana ny equations manaraka ireto:

Ny vokany dia ny vahaolana (ankapobeny) tontolo ity equations no hamaritra ny Flag tsirairay ny teboka eo amin'ny tsipika izay miasa ho toy ny teboka amin'ny fihaonan-dalana P 'sy P ", ary mamaritra ny andalana ao amin'ny mandrindra rafitra Oxyz (mahitsizoro) toerana.